Çarpanlar ve katlar, 8. sınıfın matematik dersinin 1. ünitenin ilk konusudur. 6. sınıfta öğrenilen bilgilerin tekrarı şeklinde başlayan konular, daha de genişletilerek ilerleyecektir. Çarpan ve asal çarpan bulma, EBOB-EKOK, aralarında asal sayılar bu ünitenin alt konularıdır.�

Haberin Devamı

Haberin Devamı

Haberin Devamı

Haberin Devamı

ÇARPANLAR VE KATLARI KONU ANLATIMI

Bir Doğal Sayının Çarpanları/Bölenleri

Bir doğal sayı en az iki doğal sayının çarpımı şeklinde yazılabilir. Doğal sayıyı oluşturan diğer doğal sayıların her birine o doğal sayının çarpanı denir.

NOT; Bir doğal sayının çarpanı aynı zamanda o doğal sayının bölenidir. 

Bunu bir örnekle gösterelim; 48 sayısının çarpanlarını bulalım.

48= 1x48 48'in çarpanları; 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48'dir.

 48= 2x24

 48= 3x16

 48= 4x12

 48= 6x8

 48'in bölenlerini bulalım;

 48:1 = 48 48'in bölenleri de; 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 çıkıyor. Örnekte de gördüğünüz gibi bir doğal sayının

 48:2 = 24 çarpanları ve bölenleri aynıdır.

 48:3 = 16

 48:4 = 12

 48:6 = 8

 48:8 = 6

 48:12 = 4

 48:16 = 3

 48:24 = 2

 48:48 = 1

NOT; Her tam sayı kendisinin çarpanıdır. 1 bütün tam sayıların çarpanıdır.

Haberin Devamı

Haberin Devamı

Haberin Devamı

Haberin Devamı

Asal Sayılar

 Kendisi ve 1 dışında başka sayılara bölünemeyen sayılara asal sayılar denir.

NOT; 1 asal sayı değildir. En küçük asal sayı 2'dir. 2 dışında asal çift sayı yoktur.

Bir sayının asal sayı olup olmadığını anlamak için çarpanlarını bulmanız yeterlidir. Örneğin 26 sayısının asal sayı olup olmadığını bulalım.

 26= 1x26

 26= 2x13 Gördüğünüz gibi 26'nın 1 ve kendisinden başka çarpanı bulunuyor. O halde 26 asal sayı değildir.

Yüzlük tablo içindeki asal sayılar; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ve 97'dir.

Asal Çarpanlar

Bir doğal sayının çarpanları arasında bulunan asal sayılara asal çarpanlar denilir.

 48'in çarpanları olan ; 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 sayılarının içindeki 2, 3 sayıları asal çarpandır.

Asal çarpanları en kolay şekilde bulabilmek için doğal sayıyı tam olarak bölünebilen en küçük asal sayıdan başlayarak bölebilirsiniz. Bu yönteme asal çarpanlara ayırma denir. Asal çarpanlara ayırmada iki yöntem kullanılıyor.

1- Çarpan Ağacı Yöntemi

Bu yöntemde sayıyı iki sayının çarpımı şeklinde yazıyorsunuz. Bulunan sayıları asal sayı olana kadar işleme devam ediyorsunuz.

 48 48= 2x2x2x2x3

 2 x 24 48= 2⁴x3¹ asal sayıların üslü gösterimi halidir.

 2 x 12

 2 x 6

  2 x 3

  3 x 1

2- Bölen Listesi (Asal Çarpan Algoritması)

Haberin Devamı

Haberin Devamı

Haberin Devamı

Haberin Devamı

Bu yöntemde doğal sayının yanına bir dikey çizgi çiziyorsunuz. Çizginin sağına en küçük asal sayıdan başlayarak doğal sayıyı bölmeye başlıyorsunuz. Doğal sayı 1'e düşene kadar işleme devam ediyorsunuz. Çizginin sağında oluşan sayılar doğal sayının asal çarpanlarıdır.

 48 2 48'in asal çarpanları 2 ve 3 olarak ortaya çıkıyor.

 24 2

 12 2

 6 2

 3 3

 1

Örnek Alıştırmalar, Etkinlikler

1- Alanı 24 cm² olan bir dikdörtgenin çevresi kaç cm olabilir?

 Dikdörtgenin alanını bulmak için uzun ve kısa kenarlarını çarpıyorsunuz. O zaman 24'ün çarpanlarını/bölenlerini bularak, işlemi çözebilirsiniz.

 24= 1x24 Çarpanlardan yola çıkarak alanı 24 cm² olan 4 dikdörtgen çizebilirsiniz.

 24= 2x12

 24= 3x8

 24= 4x6

 2- 28'in kaç farklı pozitif çarpanı vardır?

 28'in çarpanlarını bulabilmek için pozitif sayıları birbirleriyle çarparak buluyorsunuz.

 1x28=28 28'in çarpanları; 1, 2, 4, 7, 14, 28 

 2x14=28 28'in 5 farklı pozitif çarpanı vardır.

 4x7 =28

 3- İki basamaklı en küçük asal sayı ile iki basamaklı en büyük asal sayının toplamı kaçtır?

Haberin Devamı

Haberin Devamı

Haberin Devamı

Haberin Devamı

 Asal sayıların sadece kendileri ve 1 ile bölünebildiğini unutmayın.

 İki basamaklı en küçük asal sayı 11,

 İki basamaklı en büyük asal sayı 97'dir. 11 + 97= 108'dir.

 4-) 1, 2, 3, 4, 6, A, B, C, D bir sayının pozitif çarpanları olarak küçükten büyüğe sıralanmışlardır. Buna göre D kaçtır?

 Çarpanlar küçükten büyüğe doğru sıralandıklarında ilk çarpanla son çarpan ortadaki iki çarpanın veya çarpanın kendisiyle çarpımına eşittir.

​1, 2, 3, 4, 6, A, B, C, D 

 1xD =36 D= 36'dır.

 2xC =36

 3XB =36

 4xA =36

 6x6 =36